ΒΟΗΘΕΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
1.
Συντεταγμένες ενός σημείου ως προς ένα σύστημα αξόνων2.
Απόσταση δύο σημείων ενός άξονα3.
Μήκος ευθυγράμμου τμήματοςΓια να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου ως προς ένα σύστημα αξόνων ακολουθούμε τα εξής βήματα: | |||
•Από το σημείο φέρνουμε κάθετες στους δύο άξονες. | |||
• Σημειώνουμε στους δύο άξονες τις προβολές του σημείου. | |||
• Κοιτάμε σε ποιους αριθμούς αντιστοιχούν τα δύο αυτά σημεία. | |||
• Οι δύο αριθμοί που βρήκαμε είναι οι συντεταγμένες του σημείου. | |||
Παράδειγμα Έστω Μ ένα σημείο του επιπέδου των δύο αξόνων. Από το Μ φέρνουμε κάθετη στον άξονα χ'χ που τον τέμνει στο σημείο Π. Στο σημείο Π παριστάνεται ένας πραγματικός αριθμός έστω α. ' Όμοια από το Μ φέρνουμε κάθετη στο y’y που τον τέμνει στο σημείο Ρ. Στο σημείο Ρ παριστάνεται επίσης ένας πραγματικός αριθμός έστω β.Αντιστοιχίζουμε λοιπόν στο Μ δύο αριθμούς, πρώτα το α (στον χ' χ) και μετά το β (στον y'y) δηλαδή στο Μ αντιστοιχίζουμε το διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (α, β). | |||
Αν (α,β) = (2,3) δες το διπλανό σχήμα | |||
• Για να βρούμε την απόσταση δύο σημείων ενός άξονα αφαιρούμε τις τετμημένες των σημείων αυτών. Αν η διαφορά είναι θετική, αυτή είναι η απόσταση. Αν είναι αρνητική, παίρνουμε ως απόσταση την αντίθετη της. Έτσι, για να βρούμε την απόσταση των Α(-6,0) και Β(5,0) σχηματίζουμε τη διαφορά -6-5 =-11. Επειδή είναι αρνητική (η απόσταση δύο σημείων δεν μπορεί να είναι αρνητική) παίρνουμε την αντίθετη της.+11 Επομένως: | |||
• Η απόσταση δύο σημείων ενός άξονα είναι ίση με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των τετμημένων τους. Δηλαδή, αν τα σημεία έχουν τετμημένες χ 1,χ2 τότε η απόσταση τους είναι d =| χ1-χ2 | | |||
Με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος μπορώ να υπολογίσω το μήκος οποιουδήποτε ευθυγράμμου τμήματος αν γνωρίζω τις συντεταγμένες των άκρων του. | |||
Και να πως: | |||
Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία Α(χ 1,y1), Β(χ2,y2) του επιπέδου με χ1 ≠ χ2 και y1 ≠ y2Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΣ έχουμε (ΑΒ)2 = (ΑΣ)2 + (ΒΣ)2. Δηλαδή (ΑΒ)2 = (χ1-χ2)2 - (y1-y2)2 Επομένως η απόσταση των σημείων Α, Β δίνεται από τη σχέση Παράδειγμα Έστω Α(χ 1,y1)=Α(1,1) και Β(χ2,y2)=Β(4,5) τότε |